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什么是牛顿定理?简单表述,如果四边形有一个内切圆,那么对角线和对边切点的连线四线共点。
双心四边形,指的是是既有外接圆又有内切圆的四边形。
李轩在做的这道题,是牛顿定理再扩展出来,证明双心四边形线共点问题。简单来说,牛顿定理加强版本。
牵扯到外接圆,又有一个定理,叫作帕斯卡定理,这是竞赛党十分熟悉的定理。
因为知道配极,李轩很快就想到方法,证明出这道题。这道题虽然出现在CMO联赛的几何题,但难度在CMO联赛里属于偏低,不至于绞尽脑汁也想不出来。
“证明完毕,这一道题搞定了。”
李轩放下笔,感觉很舒爽。因为这个学习BUFF,解决一道难题的快感无形被放大了几倍,一时之间前所未有的成就感充满着胸怀。
而且神级BUFF加持下,求知欲极度爆炸,这道题证明完毕后还没完,很想追根溯源。
李轩就在想,双心四边形证明结论成立,那么六边形有内切圆呢?八边形呢?是否也会成立?
越想越觉得有这种可能性,李轩决定先画六边形看下他的猜测是否正确。
打开电脑,下载软件几何画板。
李轩用软件,费心地画出六边形的图形出来,并连接对角线和对边和内切圆连线。不出他所料,六边形果然也成立,如果多边形有内切圆,对角线和对边切点的连线共点。
“我猜想是对的,果然没有错,如果一个六边形有内切圆的话,六边形对角线和对边切点连线会汇聚于一点……”
李轩拿着鼠标的手微微颤抖,心中有点激动,好像发现了新大陆。
结论表述虽然简单,但六边形不比四边形,证明起来就有点麻烦。
“六边形应该可以证明……”
李轩拿起笔,认真地证明起来,思路类似,就是计算量增大了,花了一会功夫,就证明了六边形如果有内切圆,对角线和对边切点连线会汇聚于一点。
六边形成立。
那么八边形呢?
从一个问题一直扩展下去,从四边形一直到2n边形,李轩忽然想到他可能找到了新的定理,如果他能够发现新的定理,并证明定理成立,定理能以他命名也说不定。
李轩没有急着去证明,决定先看前人是不是发现了这个规律,兴致勃勃上网查找,却发现这个定理早就有了,是彭赛列定理。
“厉害,果然有人发现这个定理,还是十九世纪就发现了?”
那一刻,李轩除了佩服前人的智慧,还有了晚生了两百年的挫败感。
数学这条路,就是这样壮烈,走的路全部是前人已经走过的路,有时候意外发现了一个美妙的定理,查了下却发现前人早有人发现了,连证明都搞定了。
知道是彭赛列定理,李轩有点遗憾,但也不纠结,这时是他求知欲爆炸的状态,他心底更好奇是如何证明。
“怎么证明彭赛列定理?”李轩奇怪,网上没有找到证明方法。
“算了,我自己试着证明一下。”
李轩拿起笔,思考起来。
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