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“咦,这小伙子的答题速度还不算慢嘛。”
讲台之上,作为监考老师的吴林一直在观察着王卿的答题。
当他看到别人还在做选择题的时候,王卿已经开始做大题了,还是有一丝惊讶的。
“就是不知道这小伙子的正确率怎么样,听命题组的老师说,这次的数学题非常难,就是为了杀一杀学生们的锐气。”
王卿没有在意这些,他做题的速度非常之快,还不到一个小时的时间,他就来到了最后一道大题。
“做完这道题,就可以回去了。”
王卿摩拳擦掌,跃跃欲试。
题目:证明对于任意的正实数x和y,都有(2x^x)*(y^y)≥(x^2)*(y^2)成立。
“这题,有一定难度啊。”
他开始思考解题的思路。
首先,他注意到这是一个不等式证明题,需要通过推导和逻辑推理来证明不等式的成立。
王卿将题目中的不等式稍作变换,将两边同时取对数,得到ln((2x^x)*(y^y))≥ln((x^2)*(y^2))。
“接下来,只要运用对数的性质和乘法法则,将不等式进行变换就可以了。”
王卿在草稿纸上写下,xln(2x)+yln(y)≥2ln(x)+2ln(y)。
“两边都包含了ln(x)和ln(y),通过比较系数的方式来证明不等式的成立就可以了。”
王卿继续在草稿纸上写下,他将不等式分解为两个部分进行比较,即xln(2x)≥2ln(x)和yln(y)≥2ln(y)。
针对第一个不等式,他运用对数和指数的性质进行变换,得到xln(2)+xln(x)≥2ln(x)。
然后,他将两边的ln(x)相消,得到xln(2)≥ln(x)。
“左边是常数xln(2),而右边是关于x的对数函数ln(x)。”
“这是一个典型的关于x的线性函数与对数函数的比较。”
很显然,在x>0的范围内,对数函数的增长速度要远远大于线性函数。
因此,得出结论xln(2)≥ln(x)对于所有的正实数x成立。
接下来,他将同样的推导方法应用于第二个不等式,得到yln(y)≥2ln(y)。
“左边是常数yln(y),而右边是关于y的对数函数ln(y)。”
“根据对数函数的性质,yln(y)≥2ln(y)对于所有的正实数y成立。”
王卿完成了最后一道难度系数较高的数学试题后,他满意地审视着自己的答卷。
“老师,交卷。”
他仔细检查了一遍,确认没有问题之后,再次举起手示意监考老师收卷。
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