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第八章 间接路线（第1页）

走进会议室时，孟仞回想起了自己的考研复试。那时面试也是在一间会议室里进行，他在长桌的一头，学院的老师们坐在桌子两侧，一个又一个的问题问得他满头是汗。现在这间会议室中间没有长桌，倒是在四周各摆了几张几案。孟仞恭恭敬敬地站在东面的几案前，没有资格落座；西面正对着他的是馆首、匡先生和周先生；南北两侧各坐着两个导师，孟仞都不认识，不过南侧靠近他的导师发言之后，孟仞听出那正是颜笙的声音。

“考核现在开始。”颜笙说道，举起案上的一把小锤，敲了一下摆在她面前的一尊约莫一尺高的铜钟。她没有马上接着说下面的话，而是等钟声完全消失之后才开口：“本次考核采用投票制，四人及以上同意通过即视为考核通过。学徒孟仞，阐述你未来的研究计划。”

孟仞朝各位导师依次施礼，礼毕之后又说了几句场面话充作开场白。这一通繁文缛节终于结束之后，孟仞微微一笑，开始了他的正式陈述。

“脑理学是一门实验学科，其一大根基是数据统计。然而现在的统计方法，却充满了谬误。”

这个世界的脑理学固然落后了他半个多世纪，但是更可怕的是数学，他们竟然连微积分都还没发展出来。好多学科因为缺乏数学工具而举步维艰，脑理学能发展到今天，也是仰仗了其不太依靠数学的特点。不够数学化，这原本是一大劣势，如今反倒成了优势。

没有微积分，数理统计学的许多内容也就无从谈起，甚至连方差和标准差都没有人提出。

“设想这样一个场景，一群人做一个智力测试，平均分数是一百零五分，我们怎么判断这群人的分数是否比一百分更高？只看平均数的话，当然可以对这个问题回答‘是’，但是如果有一些人的分数低于一百分呢？这些人怎么算？”

坐在北侧的一个导师打断他道：“这些我们都知道，说重点。”

“晚辈正要说到重点。我们会计算这些人的分数距离平均数的差值的平均值，如果平均数减去平均差仍然高于一百分，我们就认为这群人的分数高于一百分。但我想说的是，这种统计方法是有很大漏洞的。”

“说出你的理由。”

“要减去平均差，是因为我们担心这群人的分数是偶然高于一百分。如果再测一次，说不定分数又掉到一百分以下了。这个想法固然没错，但是不知诸位先生是否想过，假设测试的次数足够多，而且每次测试互不影响的话，这些测试的平均分应当是一个什么分布？”

在场的几位导师思维都颇为敏锐，一条钟形曲线在他们的脑中迅速成形。待他们窃窃私语一阵之后，孟仞自己抛出了解答：“显然，大部分的分数应当聚集在他们的真实水平周围，剩下的分数散落在离真实水平较远的地方，并且越远频率就会越低。我要提出的研究计划之一，是求出这个分布的表达式，也就是分数出现的频率和分数的关系。”

颜笙语气温和地问道：“你的意思是，只要取样次数足够多，这些样本的平均值会满足同一个分布？”

孟仞答道：“正是。”

匡先生说道：“这么快就要推广到所有情况？不觉得这太武断了吗？”

“不，对此我很有把握。只要每次抽样都是独立同分布，那么样本平均值的分布一定是一条钟形曲线。”

导师们似乎忘记了这是一场考核，围绕孟仞的观点争论了起来，就连周先生也被吸引进去，发表了几句自己的看法。这几位搞脑理学的学者数学水平其实都不高，他们的争论完全是基于直觉，饶是如此，仍然有人提出了更加接近本质的看法。馆首说道：“我看不止是平均值，其他的统计指标恐怕也会趋于一个钟形的分布。”

不愧是馆首。孟仞暗自赞叹道。

还没转过弯来的几个学者并不因为他是馆首就买他的账，依然认为这种看法过于武断。最后，匡先生终于向孟仞提出了直击灵魂的拷问：

“怎么证明呢？”

虽然孟仞自诩数学水平还行，有把握花上个把月时间把刚刚讲的中心极限定理证明出来，但要让他现场推演，却是高估了他的数学能力。不过他早已预备了另一手：“要做出证明，还需预备一些引理，晚辈今日恐怕无法在现场给出完整的过程。”

馆首打圆场道：“既是研究计划，想必还没有完成，也不强求能在今日得到完整的证明了。不过必须要说明的是，你的数学直觉还是不错的。”其他人也大都赞许地点头。周先生讥讽了一句：“我看倒不如把他转到数学馆去。”但是并没有人理他。

“再说说你的引理。”匡先生说道。

“单纯称其为引理的话，诸位先生恐怕很难看出这条引理能用在证明的什么地方，晚辈也很难讲清楚。这样吧，我们设想一个应用场景：假设这条钟形曲线确实是正确的，那么曲线下面包围的面积代表什么呢？显然是总的概率。如果一群人做智力测验的平均分是一百零五分，平均差是五分，那么重新进行测试，他们的分数掉到一百分以下的概率是多少？”

众人哑然。

“现有的统计方法根本就没有在意这个概率，当然也不知道应该怎么计算这个概率——因此我才会说现在的统计方法有很大的漏洞。这也就是我要提出的研究计划之二：得出计算曲线下面积的通用方法。”

颜笙评论道：“感觉可以用跟‘割圆术’类似的方法。”

孟仞本来也不想直接提牛顿-莱布尼茨公式，因为他忘记了应该怎么证明。见颜笙提到了割圆术，他便顺着说了下去：“颜先生说得不错。我们可以把曲线和坐标轴围成的形状分割成很多个矩形，只要知道每个矩形的高度，就能算出整个形状的面积。但我要强调的是，所谓‘很多个’，指的是无穷多个，无限细分之后，我们才能够算出形状的准确面积，而不是估算。”

颜笙旁边的导师说道：“不管分得多细，总归是有误差的吧。”

孟仞摇头道：“无穷和有穷是截然不同的。无穷是只能趋近而不能达到的，当细分的次数无限趋近无穷时，矩形的宽度将小于所有的正数，面积的误差也将小于所有的正数。为了方便理解，我们可以将‘小于所有的正数’理解为‘零’。”

“宽度为零，那么面积也为零。无限个零相加，自然还是零，怎么得到你想要的面积？”

“所以我才强调说，无穷和有穷是截然不同的。理解为零是为了方便使用，而不是严格的定义。应当先求和，再取趋向于无穷的极限，而不是先取极限再求和。”

学者们已经被弄糊涂了。理解数学语言不是一件简单的事情，更何况孟仞为了表达的简洁省略了很多东西。孟仞自己也不是数学系的学生，对这些定义理解得并不透彻，他感觉要是再被问问题的话，自己就要露怯了，于是赶紧乘胜追击，没给他们接着提问的机会：

“关于这一问题，完整的证明也是不好通过口头表述的。不过，一旦这项引理中的问题得以解决，不仅将对脑理学大有助益，而且将对数学中的几何问题，物理学中的变力做功问题带来极大的帮助。”

众人再度窃窃私语起来。馆首从座位上起身，抬起手示意众人安静，然后说道：“如果大家没有意见的话，我们就开始投票。”

匡先生大概是觉得孟仞两年之内发表两篇论文不成问题了，说道：“我先投个赞成票。”

周先生却咧出一个笑容道：“先不急着投票吧，在脑理学馆让学徒研究数学问题，似乎尚无此先例。再说，这个学徒我是了解的，根本就没有多高的才能，今天说不定只是吹嘘而已。”

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